Sólido rígido

Conservação do
momento angular

Discos que são
acoplados (I)

Discos que são
acoplados (II)

Conservação do 
momento angular

Giros do patinador no
gelo

Analogia com choque
frontal elástico

Pêndulo balístico (II)

Caixa que pode
tombar

Choque inelástico
bala-disco em rotação

Transferência da 
velocidade em um choque

Conservação do 
m. linear e m. angular

Choque disco-parede

Choque disco-disco (I)

Choque disco-disco (II)

Movimento depois do choque

Atividades

Forças sobre a barra no eixo de rotação

No capítulo de Dinâmica da partícula foi examinado o pêndulo balístico, consiste em uma bala de massa m e velocidade v que choca contra  um bloco de massa M que pende do extremo de uma corda. Para resolver o problema podemos aplicar  indistintamente o princípio de conservação do momento linear ou do momento angular.

Nesta segunda versão, o bloco é substituído por um cilindro de massa M e de raio r e a corda por uma varinha rígida de comprimento d e de massa desprezível.

O aspecto didático mais importante deste problema, é a de mostrar a diferença entre as duas versões do pêndulo balístico: enquanto que uma massa pontual em movimento circular não pode ter uma velocidade nula no ponto mais alto de sua trajetória, um sólido rígido em rotação pode ter uma velocidade angular nula.

Fundamentos físicos

Nesta versão somente é aplicável o princípio de conservação do momento angular, já que o sistema não é isolado no entanto, o momento das forças externas relativo ao eixo de rotação O é nulo.

Princípio de conservação do momento angular

• Momento angular antes do choque

É o momento angular da partícula relativo a O.

L=r´ mv

O módulo do momento angular é L=mv·d. Onde d é o braço do momento angular ou distância entre a direção da velocidade e o ponto O.

• Momento angular depois do choque

É o momento angular de um sólido rígido formado pela varinha, o cilindro e a bala embutida, em rotação ao redor de um eixo perpendicular ao plano da simulação que passa por O.

L=I₀w

O momento de inércia I₀ é composto dos seguintes termos:

• Aplicamos o teorema de Steiner para obter o momento de inércia do cilindro de massa M e raio r cujo eixo dista d de O
• Momento de inércia de uma massa pontual m que dista d do eixo de rotação
• A varinha tem massa desprezível

Como o momento angular inicial e final são iguais, explicitamos a velocidade angular w, justamente depois do choque.

O momento linear do sistema não se conserva

O momento linear inicial do sistema formado pela bala e o pêndulo em repouso é

p_i=mv

O momento linear final do sistema é

p_f=(m+M)v_f

Como a varinha não tem massa, e a bala impacta no centro do cilindro, o centro de massa do sistema está no centro do cilindro y_cm=d. A velocidade final do c.m. do sistema é

v_f=ω·d

Para outros casos não tão simples, calculamos o centro de massa do sistema y_cm. A velocidade final do c.m. seria v_f=ω·y_cm

Se o raio r é zero, o cilindro é convertido em uma massa pontual M, o momento linear se conserva Δp=0. O princípio de conservação do momento linear e do momento angular dão os mesmos resultados.

Forças internas e externas

Uma força horizontal F que atua no eixo O do pêndulo durante o tempo Δt que dura o choque. O impulso desta força externa F produz uma mudança no momento linear do sistema. Se supormos que F é constante durante este curto intervalo de tempo, podemos escrever

F·Δt= Δp

O sentido de F será o indicado na figura, se o momento lineal aumenta, e o contrário se diminui.

Durante o mesmo tempo Δt, a força interna f que exerce o cilindro sobre a bala, faz com que esta diminui sua velocidade de v a vf=ω·d. f·Δt= mωd-mv

Balanço energético

• A energia antes do choque é a energia cinética da bala
• A energia depois do choque é a energia cinética do sólido em rotação

A energia perdida na colisão é a diferença entre estas duas energias. Na parte esquerda da simulação, podemos observar que a maior parte da energia cinética da bala se converte em energia de deformação quando a bala é incrustada no cilindro e somente, uma pequena parte da energia inicial é convertida em energia cinética de rotação do sistema formado pela varinha, o cilindro e a bala.

Movimento depois do choque

Dinâmica de rotação Depois do choque temos um sólido rígido em rotação ao redor de um eixo fixo que passa por O. A equação da dinâmica de rotação é M=I0·a M é o momento do peso que atua no centro de massa do sólido. Como a varinha tem massa desprezível e a bala se aloja no centro do cilindro, o centro de massa do sistema coincide com o centro do cilindro, a uma distância d do eixo de rotação. -(M+m)·g·d·senq =I0·a

Como a aceleração angular não é constante, podemos obter a posição angular q em função do tempo, integrando a equação diferencial de segunda ordem. No entanto, é muito mais fácil aplicar o princípio de conservação da energia para obter informação sobre o comportamento do sólido em rotação.

Princípio de conservação da energia

A energia cinética depois do choque é convertida em energia potencial Conhecido o ângulo q de máximo desvio do pêndulo balístico podemos percorrer o caminho inverso e calcular a velocidade da bala antes do choque.

Pode ocorrer que a velocidade da bala seja tão grande que o pêndulo comece a dar voltas. Para que isto ocorra, a energia do pêndulo depois do choque tem que ser maior que a energia potencial do cilindro e da bala correspondente a uma altura 2d.

Enquanto que uma massa pontual em movimento circular não pode ter uma velocidade nula no ponto mais alto de sua trajetória, um sólido rígido em rotação pode ter uma velocidade angular nula. Esta é a diferença essencial entre as duas versões do pêndulo balístico.

Exemplos

• Massa da bala m=0.2 kg
• Velocidade da bala v=10 m/s
• Massa do cilindro M=1.5 kg
• Raio do cilindro r=3 cm=0.03 m
• Comprimento da varinha d=0.5 m

1. Choque. Princípio de conservação do momento angular

Momento de inércia I₀= 0.426 kgm²

Momento angular inicial 0.2·10·0.5=1 kg·m²/s
Momento angular final I₀·w

Conservação do momento angular w =2.35 rad/s

2. Movimento depois do choque. Princípio de conservação da energia

A energia cinética depois do choque se transforma em energia potencial, quando é alcançado o máximo desvio do pêndulo

Uma vez calculado h obtemos o ângulo de desvio q =30.8º

Exemplo 2º

Com estes dados, podemos perguntar: Qual será a velocidade que deverá atingir a bala para que o pêndulo se desloque 180º, se ponha em posição vertical?. Resolvemos o problema no sentido inverso

1. Movimento depois do choque. Princípio de conservação da energia

A energia potencial da bala e cilindro nesta posição é 1.7·9.8·2·0.5=16.66 J

A energia cinética depois do choque será

2. Choque. Princípio de conservação do momento angular

0.2·v·0.5=I₀·w

Explicitamos v=37.66 m/s

Introduzimos este valor no controle de edição titulado Velocidade bala e clicamos no botão titulado Começar, observamos que o pêndulo chega a posição vertical sem ultrapassá-la. Incrementamos em um centésimo a velocidade da bala v=37.67 m/s e vemos que o pêndulo começa a dar voltas.

Atividades

Introduza

• A massa m da bala (kg), no controle de edição titulado Massa da bala
• A velocidade v da bala (m/s), no controle de edição titulado Velocidade bala
• Raio do cilindro (cm), no controle de edição titulado Raio cilindro
• A massa do cilindro (kg), no controle de edição titulado Massa
• O comprimento da varinha está fixado pelo programa 0.5 m

Clique no botão Começar

Observe sobre a escala angular graduada o máximo deslocamento do pêndulo. Seu valor numérico é mostrado no canto superior esquerda da simulação. Também podemos ver a esquerda na simulação, um gráfico que mostra o balanço energético da colisão.

Comparar as duas versões do pêndulo balístico introduzindo os mesmos valores em ambos programas interativos. Comprovar o efeito do raio do cilindro mantendo constantes os outros dados.

Forças sobre a barra no eixo de rotação

Se a varinha tem massa desprezível, o centro de massas se encontra no centro do cilindro de massa M e raio r, onde também se encontra alojada a bala de massa m.

Na figura da esquerda, é mostrada as forças sobre o conjunto formado pela barra, o cilindro e a bala. Na figura da direita, a decomposição destas forças segundo os eixos que são indicados.

Foi calculado a aceleração angular e a velocidade angular do sistema depois do choque quando a barra forma um ângulo q com a vertical tal como se vê na figura.

• Equação da dinâmica de rotação

I₀a =-(M+m)g·d·senq

• Balanço energético

Sendo w₀ a velocidade angular do sólido imediatamente depois do choque

O centro de massas descreve um arco de circunferência de raio d, por tanto, tem duas acelerações, uma tangencial a_t e outra normal a_n.

Na figura da esquerda, estão desenhadas as forças sobre o sistema. A direita, foi substituído o peso por suas componentes e foram desenhadas as componentes tangencial e normal da aceleração. A partir deste esquema, explicamos as equações do movimento do centro de massas.

(M+m)·a_t=F_t-(M+m)g·senq
(M+m)·a_n=F_n-(M+m)g·cosq

Tendo em conta que em um movimento circular

Despejamos F_t e F_n

F_t =(M+m)·a ·d +(M+m)g·senq
F_n =(M+m)·w ²·d +(M+m)g·cosq

A força F sobre a barra no eixo de rotação é

Exemplo

Voltemos ao exemplo 1º

• Massa da bala m=0.2 kg
• Velocidade da bala v=10 m/s
• Massa do cilindro M=1.5 kg
• Raio do cilindro r=3 cm=0.03 m
• O comprimento da varinha d=0.5 m

Momento de inércia I₀= 0.426 kgm²

1. Choque. Aplicando o princípio de conservação do momento angular obtivemos a velocidade angular do sistema depois do choque

w₀=2.35 rad/s

O problema vai consistir agora em calcular as forças F_t e F_n no eixo O, quando o ângulo q =15º.

1. Calculamos a aceleração angular a , e a velocidade angular w .

0.426a =-1.7·9.8·0.5 sen15º                         a =-5.06 rad/s²

2. Balanço energético

3. Calculamos as componentes F_t e F_n da força no eixo O.

F_t=(M+m)g·senq +(M+m)a_t= 1.7·9.8·sen15º-1.7·0.5·5.06=0.007 N
F_n (M+m)g·cosq +(M+m)·a_n =1.7·9.8·cos15º+1.7·0.5·2.04²=19.65 N

4. A força F sobre a barra no eixo de rotação

Módulo F=19.65 N
Ângulo que forma com o eixo X, φ=105º